Historia de la geometría

Historia de la geometría

Antigüedad

Las nociones de geometría más antiguas de las que se tiene constancia remontan a la antigua Mesopotamia , el antiguo Egipto y en la llamada Cultura del valle del Indo , a partir del 3000 aC .

La geometría primitiva era una recopilación de principios descubiertos empíricamente referidos a longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para obtener un uso práctico en agrimensura , construcción , astronomía y diversas aplicaciones artesanas.

Los primeros textos conocidos sobre geometría son los papiros egipcios de Rhind y de Moscú , así como las tablillas de arcilla babilónicas y el Shulba Sutras indio, mientras que los chinos tenían los trabajos de Mozi , Zhang Heng y los nueve capítulos de las artes matemáticas (九章算术) de Liu Hui .

Grecia clásica

Los Elementos de Euclides (c. 300 aC ) es uno de los textos antiguos más importantes sobre geometría, ya que a partir de aquí se presenta la geometría de una forma axiomática ideal, esta geometría es la que se conoce como geometría euclidiana .

Este tratado, en contra de lo que a veces se cree, no es un compendio de todo lo que los matemáticos griegos sabían sobre geometría en aquella época, sino que es una introducción elemental a la geometría.

El mismo Euclides escribió ocho libros más avanzados sobre geometría. Se tienen referencias de que los libros de Euclides no fueron el primer libro de texto elemental sobre geometría, pero los otros no se usaron y se han perdido.

Edad media

En la Edad Media , los matemáticos del mundo islámico contribuyeron de manera decisiva al desarrollo de la geometría, en especial de la geometría algebraica y del álgebra geométrica.

Al-Mahan ( 853 – ) concibió la idea de reducir problemas geométricos como duplicar el cubo a problemas de álgebra. Thabit ibn Qurra (en latín conocido como Tebas) ( 836 – 901 ) trató con operaciones aritméticas aplicadas a proporciones de cantidades geométricas, y contribuyó al desarrollo de la geometría analítica .

Omar Khayyam ( 1048 – 1131 ) encontró soluciones geométricas a ecuaciones cúbicas , y sus estudios extensivos sobre el postulado de las paralelas contribuyeron al desarrollo de la geometría no euclidiana .

Los teoremas de Alhacén (Alhazen), Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi sobre cuadriláteros , incluyendo el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron los primeros teoremas sobre geometría elíptica y geometría hiperbólica, y conjuntamente con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair.

Estos trabajos tuvieron una influencia considerable sobre el desarrollo de la geometría no euclidiana entre geómetras europeos posteriores, entre ellos Witelo , Levi bien Gerson , Alfonso , John Wallis , y Giovanni Girolamo Saccheri .

Renacimiento

A comienzos del siglo XVII , se produjeron dos desarrollos importantes en geometría. El primero, y más importante, fue la creación de la geometría analítica , o geometría con coordenadas y ecuaciones , por parte de René Descartes ( 1596 – 1650 ) y Pierre de Fermat ( 1601 – 1665 ). Esto es un precursor necesario para el desarrollo del cálculo infinitesimal y por hacer de la física una ciencia cuantitativa y precisa.

El segundo desarrollo geométrico de este periodo fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva por parte de Gérard Desargues ( 1591 – 1661 ). La geometría proyectiva es el estudio de geometría sin medidas, sólo el estudio de cómo se alinean los puntos entre ellos.

Época moderna

Dos desarrollos en geometría al siglo XIX cambiaron la forma en que se había estudiado previamente. Estos fueron el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Lobachevsky , Bolyai y Gauss y el de la formulación de la simetría como la consideración central en el Programa de Erlangen de Felix Klein (que generalizaba las geometrías euclidianas y no euclidianas).

Dos de los geómetras principales del tiempo fueron Bernhard Riemann , que trabajó principalmente con herramientas del análisis matemático , y presentó la superficie de Riemann , y Henri Poincaré , el fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de los sistemas dinámicos .

Como consecuencia de estos cambios esenciales en la concepción de la geometría, el concepto de espacio se convirtió en algo más rica y variada, y la base natural para teorías tan diferentes como el análisis complejo y la mecánica clásica.

El tipo tradicional de geometría identificaba con espacios homogéneos , aquellos espacios que tienen suficiente simetría, de manera que tengan el mismo aspecto desde cualquier punto.

Clases de geometría

Las disciplinas matemáticas que tratan temas geométricos se pueden clasificar siguiendo varios criterios:

En función del tipo de espacio que se estudia: La geometría euclidiana que estudia el espacio usual con las nociones de distancia y de ángulo. La geometría afín que estudia los puntos y las rectas pero sin las nociones de distancias y ángulos. La geometría proyectiva que añade a los espacios de la geometría afín puntos en el infinito.

La geometría no euclidiana que es una variación de la geometría euclidiana que comprende la geometría hiperbólica , elíptica y esférica . Estas geometrías se pueden generalizar, principalmente aumentando la dimensión del espacio.

En función de la manera en que se estudia o axiomatitza la geometría: La geomtria sintética que parte de axiomas y deduce teoremas siguiendo las reglas de la lógica.

La geometría analítica que utiliza sistemas de coordenadas para establecer una correlación entra los puntos del espacio y ternas de números reales. El álgebra lineal que generaliza la geometría analítica sustituyendo las coordenadas para espacios vectoriales. El programa de Erlangen que utiliza las nociones de grupo y acción de grupo .

También hay otras ramas de las matemáticas que usan las figuras que proceden de los espacios euclídeos pero que estudian espacios que no son necesariamente espacios euclídeos: La topología , la geometría diferencial , la geometría algebraica y la geometría no conmutativa .

Clasificación en función del tipo de espacio

Para Henri Poincaré , el espacio geométrico posee las siguientes propiedades:

• Es continuo.
• Es infinito.
• Tiene tres dimensiones.
• Es homogéneo, es decir que todos sus puntos son idénticos entre ellos.
• Es isótropo, es decir que todas las derechas que pasan por un mismo punto son idénticas entre ellas.

Las geometrías euclidiana y no euclidiana corresponden a esta definición stricto sensu del espacio. Construir esta geometría consiste en enunciar las reglas de manipulación de los cuatro objetos fundamentales el punto, la recta, el plano y el espacio.

Una forma de generalizar este espacio es aumentando el número de dimensiones.

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana estudia los espacios donde se cumplen los cinco postulados de Euclides:

• Dos puntos diferentes se pueden unir por una recta.
• Un segmento rectilíneo puede ser alargado indefinidamente mediante una recta.
• Dados un segmento rectilíneo y un punto cualesquiera, existe una circunferencia de centro este punto y radio el segmento dado.
• Todos los ángulos rectos son iguales.

Si dos rectas intersecan con una tercera de forma que la suma de los ángulos interiores a un lado es menor de dos ángulos rectos , entonces las dos rectas inevitablemente se cortan en el mismo lado si se alargan suficientemente.

El estudio de la geometría euclidiana normalmente comienza por el estudio de las figuras en el plano (un espacio de dos dimensiones) y luego se extiende al estudio del espacio de tres dimensiones. Para representar en un plano los objetos de tres dimensiones se utiliza la geometría descriptiva.

• Geometría plana : es la parte de la geometría clásica que se ocupa de las figuras en el plano. Los elementos físicos planos, es decir, con una dimensión reducida frente a las otras dos, como por ejemplo: una pared o un pavimento , una página de un libro o la hoja de un bloque, etc., constituyen el soporte de el espacio de dos dimensiones donde se desarrolla esta geometría.
• Geometría del espacio : es la parte de la geometría clásica que se ocupa de las figuras en el espacio de tres dimensiones, es decir, el espacio físico del que tenemos una experiencia intuitiva directa.
• Geometría descriptiva : es una aplicación de la geometría clásica que tiene por objeto representar sobre uno o más planos, las figuras del espacio.

Nació para satisfacer la necesidad de representar sobre una hoja de papel (o cualquier soporte bidimensional). los planos o dibujos de los proyectos de los edificios o las obras públicas así como los ingenios , las máquinas , etc., los cuales son objetos de tres dimensiones.

Los métodos de la geometría descriptiva permiten, a partir de los planos, deducir y por tanto construir con seguridad lo dibujado, con su forma, medidas y todas las relaciones geométricas por complejas que sean.

Geometría afín

En la geometría afín no se consideran ni el tercero ni el cuarto postulados de Euclides. Sus resultados son válidos en los espacios de la geometría euclidiana pero también, por ejemplo en el espacio de Minkowski .

La geometría afín estudia las propiedades geométricas que se mantienen inalteradas por las transformaciones afines , es decir para las transformaciones lineales y las traslaciones . No se pueden medir ángulos ni comparar distancias sobre rectas que tengan direcciones diferentes.

Geometría proyectiva

La geometría proyectiva estudia las nociones intuitivas de “perspectiva” y de “horizonte”. Analiza las propiedades de las figuras invariantes por proyección.

El espacio sobre el que trabaja la geometría proyectiva es el espacio proyectivo . Intuitivamente responde a la idea de un espacio afín completado con el añadido de un hiperplano que representa los puntos situados en el infinito, es decir, allí donde se cortan las rectas paralelas.

Geometría no euclidiana

Geometrías no euclidianas : a partir del siglo XIX, algunos matemáticos niegan el quinto postulado de Euclides y parten de que hay más de una recta paralela que pase por un punto exterior de una recta.

Esto permitió formular una serie de conceptos geométricos coherentes donde, por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo es menor que el arco de la semicircunferencia (180 °).

Estas teorías tan sorprendentes, modificaron mucho la comprensión del papel de las matemáticas, al postular la geometría como un esquema formal sin referencia inmediata en el espacio físico. Las geometrías hiperbólica (con dos paralelas) o la elíptica (sin paralelas) fueron antecedentes de estas formulaciones.

Generalización

Geometría n-dimensional : el concepto de espacio de ene dimensiones nace en aplicar la correspondencia entre el álgebra y la geometría, propia de la geometría analítica, a las ecuaciones algebraicas de más de tres variables, lo que, por analogía conceptual implica un espacio de tantas dimensiones como variables tiene la ecuación estudiada.

La parte científica de esta disciplina, va desde la geometría de cuatro dimensiones que fundamenta la Teoría de la relatividad , hasta la Teoría de las cuerdas con sus once o veintidós tres dimensiones y se contrapone con una variante más lúdica que se ha desarrollado ampliamente en la literatura , los cómics y el cine de ciencia ficción .

Clasificación en función de las técnicas empleadas

Geometría sintética

La geometría sintética o geometría pura se basa en el enfoque axiomático de la geometría en oposición a la geometría analítica. Parte de los axiomas y deduce los teoremas empleando las reglas de la lógica, rechaza sistemáticamente de utilizar las propiedades analíticas de las figuras y utilizar las coordenadas.

Geometría analítica

Geometría analítica : es la parte de las matemáticas que hace uso del álgebra para describir y estudiar las figuras geométricas y sus relaciones.

La geometría analítica se basa en la correspondencia biunívoca que se puede establecer entre el conjunto de números reales y el conjunto de puntos de una recta . Consiguientemente, dos o tres rectas perpendiculares, representan los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio de tres dimensiones respectivamente.

Las ecuaciones algebraicas de dos o tres variables representan curvas planas (p.ej: la elipse ) o en el espacio (curvas de tres dimensiones como la hélice o figuras tridimensionales como el cilindro o el paraboloide hiperbólico .

Álgebra lineal

El álgebra lineal utiliza los espacios vectoriales para modelizar el espacio. Los espacios vectoriales provienen de la geometría afín, mediante la introducción de sistemas de coordenadas en el espacio plano o tridimensional.

Los espacios vectoriales sin estructura adicional (sin norma o módulo ) no permiten medir ángulos. De alguna forma el álgebra lineal es la geometría afín lo que la geometría analítica es la geometría euclidiana.

Programa de Erlangen

El desmadre generado por la irrupción de las geometrías no euclidianas, fue aclarado en 1872 por el matemático FC Klein en el Programa de Erlangen según el cual, la Geometría es la rama de la Matemática que estudia los invariantes y el conjunto de las transformaciones que tienen lugar en el espacio base.

Un grupo es un conjunto en el que hay definida una operación , es decir, una aplicación donde cada par de elementos del conjunto le asigna otro elemento del conjunto (que será el resultado de operar los dos elementos dados).

Por ejemplo, la operación de dar el punto medio , consiste en asignar a cada par de puntos el punto medio del segmento que los une. Por sucesivas especializaciones del grupo se obtiene la geometría afín la geometría métrica y las no euclidianas, esto hace que la geometría proyectiva es considerada, hoy en día, como la geometría básica.

Ramas de la matemática estrechamente relacionadas con la geometría

La topología estudia las deformaciones de los objetos del espacio para deformaciones continuas. Identifica los objetos que pueden ser obtenidos los unos a partir de otros por este tipo de transformaciones y estudia las propiedades de las clases de objetos que resultan.

La geometría diferencial y geometría algebraica tienen por objeto el estudio de las curvas y superficies definidas por las ecuaciones algebraicas.

Estas geometrías no se ocupan tanto del espacio o el plan, que son el soporte de la geometría analítica, como de las mismas curvas consideradas por ellas mismas, en las que buscan los puntos singulares (máximos, mínimos o puts de inflexión , etc.) y los invariantes de las transformaciones.

La geometría algebraica, mediante el lenguaje espectral permite obtener una visión geométrica de los problemas algebraicos.

La geometría no conmutativa estudia las posibles interpretaciones espaciales de las estructuras algebraicas que no cumplen la propiedad conmutativa .

Ámbitos de investigación relevantes en geometría

Geometría de Riemann

La geometría de Riemann se puede ver como una extensión de la geometría euclidiana. Su estudio se basa en las propiedades geométricas de espacios ( variedades ) que presentan una noción de vectores tangentes, y que están equipados con una métrica ( métrica riemanniana ) que permite medir estos vectores.

Los primeros ejemplos que se encuentran son las superficies del espacio euclídeo de dimensión 3 las propiedades métricas de las cuales fueron estudiadas por Gauss en los años 1820. El producto euclidiano induce una métrica sobre la superficie estudiada por restricción en los diferentes planos tangentes.

La definición intrínseca de métrica fue formalizada en dimensiones superiores por Riemann. La noción de transporte paralelo autoriza la comparación de los espacios tangentes en dos puntos diferentes de la variedad: permite transportar de manera coherente un vector a lo largo de una curva trazada sobre la variedad riemanniana.

La curvatura de una variedad riemanniana medida por definición la dependencia del transporte paralelo de un punto a otro con respecto a la curva que los enlaza.

La métrica da lugar a la definición de la longitud de las curvas, de donde deriva la definición de la distancia riemanniana. Pero las propiedades métricas de los triángulos pueden diferir de la trigonometría euclidiana.

Esta diferencia se estudia en par a través del teorema de comparación de Toponogov , que permite comparar al menos localmente la variedad riemanniana estudiada en los espacios modelos, según las inecuaciones supuestas conocidas sobre la curvatura de la secciço.

Entre los espacios moldeados hay:

• El espacio euclidiano es una variedad riemanniana de curvatura nula;
• La esfera de dimensión n es una variedad riemanniana de curvatura positiva constante 1;
• El espacio hiperbólico de dimensión n es una variedad riemanniana de curvatura negativa -1.

Geometría compleja

La geometría compleja comporta las propiedades de espacios que se pueden identifica localmente con {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}.

Estos objetos ( variedad compleja ) presentan una cierta rigidez, que se desprenden de la unicidad de una prolongación analítico de una función de varias variables.

Geometría simpléctica

La geometría simpléctica se puede introducir como una generalización en dimensión superior de la noción de área que se encuentra en dimensión 2. Como la geometría compleja, sus objetos de estudio, las variedades simplécticas, son bastante rígidos.

Aplicaciones de la geometría

Durante mucho tiempo, la geometría y la astronomía han sido ligadas. A un nivel elemental, el cálculo de las medidas de la Luna , del Sol y de sus distancias respectivas a la Tierra utiliza el teorema de Tales . En los primeros modelos del sistema solar, en cada planeta se le asociaba un sólido platónico .

Desde las observaciones astronómicas de Kepler , confirmadas por los trabajos de Newton , se ha visto que los planetas siguen una órbita elíptica que tiene el Sol en uno de sus focos. Estas consideraciones de naturaleza geométrica se utilizan habitualmente en mecánica clásica para describir cualitativamente las trayectorias .

En este sentido, la geometría interviene en ingeniería en el estudio de la estabilidad de un sistema mecánico. También interviene de forma aún más naturalmente en el dibujo técnico . El dibujo técnico presenta las secciones o las proyecciones de un objeto tridimensional, y contiene anotadas las longitudes y ángulos.

Es la primera etapa de la realización de un proyecto de diseño industrial . Recientemente, la aplicación de la informática a la geometría ha permitido la llegada del diseño asistido por ordenador (CAD), y del cálculo por elementos finitos .

La trigonometría euclidiana interviene en óptica para estudiar por ejemplo la difracción de la luz. La geometría también está en el origen del desarrollo de la navegación acuática basándose en las estrellas (con los sextantes ), cartografía , navegación aérea (pilotaje a los instrumentos a partir de las señales de las balizas).

Los nuevos avances en geometría al siglo XIX encuentran aplicación en física. A menudo se dice que la geometría de Riemann ha sido motivada inicialmente por las interrogaciones de Gauss sobre la cartografía de la Tierra. Da cuenta en particular de la geometría de las superficies en el espacio.

Una de sus extensiones, la geometría Lorenz , ha suministrado al formalismo ideal para formular las leyes de la relatividad general . La geometría diferencial encuentra nuevas aplicaciones en la física postnewtoniana con la teoría de cuerdas o de las membranas .

La geometría no conmutativa , inventada por Alain Connes , se está imponiendo para ofrecer las estructuras matemáticas adecuadas con las que trabajar para establecer nuevas teorías físicas.