Teorema de Laplace

En Álgebra lineal, el teorema de Laplace, llamado así por el matemático y astrónomo francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827), es un teorema matemático que, utilizando el concepto de cofactor, impulsa el cálculo de determinantes para reglas que pueden ser aplicado a cualquier matriz cuadrada, brindando la posibilidad de dividirla en números más pequeños. El determinante es el número que está asociado con una matriz cuadrada, generalmente indicado al escribir los elementos de la matriz entre barras o el símbolo «det» antes de la matriz.

Teorema de Laplace

Foto: Reproducción

¿Cómo se aplica el teorema de Laplace?

Para aplicar el teorema de Laplace, debemos elegir una fila (fila o columna de la matriz) y agregar los productos de los elementos de esta fila a los cofactores correspondientes.

El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 se obtendrá igualando la suma de los productos de los elementos de cualquier fila por sus cofactores.

Mira un ejemplo:

Calcule el determinante de la matriz C usando el teorema de Laplace:

Teorema de Laplace

Según el teorema, debemos elegir una fila para calcular el determinante. En este ejemplo, usemos la primera columna:

Teorema de Laplace

Ahora necesitamos encontrar los valores del cofactor:

Teorema de Laplace

Según el teorema de Laplace, el determinante de la matriz C viene dado por la siguiente expresión:

Teorema de Laplace

El primer y segundo teorema de Laplace

El primer teorema de Laplace postula que «el determinante de una matriz cuadrada A es igual a la suma de los elementos de cualquier línea de sus componentes algebraicos».

El segundo teorema de Laplace establece que «el determinante de una matriz cuadrada A es igual a la suma de los elementos de cualquier columna para su complemento algebraico».

Las propiedades de los determinantes.

Las propiedades de los determinantes son las siguientes:

  • Cuando todos los elementos de una fila, ya sea fila o columna, son nulos, el determinante de esa matriz es nulo;
  • Si dos filas de una matriz son iguales, entonces su determinante es nulo;
  • El determinante de dos filas paralelas de una matriz proporcional será nulo;
  • Si los elementos de una matriz están compuestos de combinaciones lineales de los elementos correspondientes de filas paralelas, entonces su determinante es nulo;
  • El determinante de una matriz y su equivalente transpuesto son iguales;
  • Al multiplicar todos los elementos de una fila en una matriz por un número real, el determinante de esa matriz se multiplica por ese número;
  • Cuando cambiamos las posiciones de dos filas paralelas, el determinante de una matriz cambia la señal;
  • En una matriz, cuando los elementos encima o debajo de la diagonal principal son todos nulos, el determinante es igual al producto de los elementos de esa diagonal.

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