Diezmos periódicos

Para abordar el tema del diezmo periódico, primero debemos entender cuál es el conjunto de números racionales, porque el diezmo periódico es parte de este conjunto.

El conjunto de números racionales está representado por la letra Q, otros conjuntos forman parte de este conjunto, como el conjunto de números naturales (N) y el conjunto de enteros (Z). Además, números como fracciones, decimales y diezmos periódicos también constituyen este conjunto. En un diagrama, la representación sería la siguiente:

Establecer diagrama

Tenga en cuenta que en este diagrama de conjunto: N⊂ Z⊂ Q; logo NO. El símbolo (⊂) significa que está contenido.

Podemos deletrear los términos numéricos que componen cada conjunto, mientras los reescribimos usaremos el orden ascendente.

  • Natural (N):
    {0.34, 57, 78, 1002}
  • Enteros (Z):
    {-1222, -98, -46, 0.34, 57, 78, 1002}
  • Racionales (Q)

El conjunto de números racionales tiene los elementos que se describieron anteriormente, en este conjunto el diezmo periódico son los números: – 2.3434 …; + 5.2222 … y + 10.133 … Identificamos estos números como diezmos periódicos, porque después de la coma hay una secuencia numérico con repetición infinita . Cuando ocurre esta repetición, decimos que el número es un diezmo periódico.

Mujer sentada con números

El diezmo periódico es parte del conjunto de números racionales (Foto: depositphotos)

Periodo de diezmo

Cada diezmo periódico tiene un período, vea a continuación cómo se realiza su representación:

+ 5,222 … = +5, (El período es el número 2).

+ 10,133 … = +10,1 (El período es el número 3).

– 2.3434 … = -2, (El período es el número 34).

Clasificación del diezmo periódico

El diezmo periódico puede clasificarse como simple o compuesto , para conocer su diferencia debemos mirar los números que componen su período.

Diezmo periódico simple

Un diezmo periódico se caracteriza como simple cuando su período es simple, es decir, los números que se colocan después de la coma son siempre los mismos que se repiten en una secuencia infinita .

Ver también : números naturales

Ejemplo 1:
+ 5,222 … = +5, (Tiene un período simple, ya que el número 2 se repite infinitamente).

– 2.3434 … = -2, (Tiene un período simple porque el número 3 4 se repite infinitamente).

Diezmo compuesto periódico

El diezmo periódico será del tipo compuesto cuando tenga un anteperíodo. Este anteperíodo es un número que se colocará después de la coma pero no tiene una secuencia de repetición .

Ejemplo 2

+ 10,133 … = +10,1 (tiene el período 1 y el período 3).

La fracción generadora del diezmo periódico

Cada diezmo periódico tiene una fracción de la cual se origina, esta fracción se llama geratriz. Para descubrir esta fracción, necesitamos hacer algunos cálculos. Aquí le mostramos cómo convertir diezmos periódicos simples compuestos en fracciones generadoras:

Ejemplo 3

Transformar diezmos simples periódicos: 0.555…; + 5,222 … y – 2,3434 … en la generación de fracciones.

1- Para convertir 0, 555 … en diezmo periódico debemos determinar el período.

El período del diezmo periódico simple es el número 5 y este número será el numerador en la fracción generadora. El denominador siempre será el número 9, para conocer las cantidades de nueves que deben estar en el denominador solo se debe conocer el número de términos numéricos que componen el período. La fracción generadora del diezmo periódico 0.555 … es:

2- Transformaremos el diezmo periódico + 5,222 … en la fracción generativa. Inicialmente debemos determinar el período.

Ahora podemos determinar la fracción generadora siguiendo los pasos del ejemplo anterior, ver:

Al final obtuvimos una fracción mixta, al resolverla encontraremos la fracción generadora

La fracción generadora del diezmo periódico 5.222 … es:

3 – Ahora encontraremos la fracción generadora del diezmo periódico 2.3434 … Inicialmente determinamos el período.

Ahora separará toda la parte del decimal.

– 2.3434 … = – (2 + 0.3434 …)

Como ya sabemos, el numerador de la fracción estará determinado por el período que es el número 34, pero el denominador será 99 porque el período se compone de dos dígitos.

Después de resolver el número mixto, obtendremos la fracción generadora.

Para saber cómo encontramos la fracción compuesta del diezmo periódico, es decir, que tiene un anteperíodo, siga el siguiente ejemplo:

Ver también: números irracionales

Ejemplo 4

Descubra la fracción generadora del diezmo periódico compuesto + 10.133 …

Inicialmente identificaremos el anteperíodo y el período:

Ahora debemos separar toda la parte del decimal.

+10.133 .. = 10 + 0.133 …

Averigüemos el numerador de la fracción, para eso necesitamos restar el anteperíodo con el período del anteperíodo, es decir:

(período antes del período) – (período) =
= 13 – 1 =
= 12

Para conocer el valor que tiene el denominador con los números 0 y 9, donde 0 representa la cantidad de términos del período y 9 representa el número de términos del período. El número 9 siempre debe venir antes que el número 0.

Tenemos entonces que la fracción generadora del diezmo periódico + 10.133 … es

Tal vez ahora esté pensando, pero si hay diezmo periódico, entonces tal vez haya diezmo no periódico, es correcto pensar eso, pero este es un escenario para el próximo.

Gracias por leer, buenos estudios!

Referencias

GIOVANNI, J. R; CASTRUCCI, B; JÚNIOR, JRG El logro de las matemáticas 7º grado – São Paulo: FTD, 2012.

Deja un comentario