Conectivos lógicos: ¿qué son y para qué sirven?

Los conectores lógicos forman parte de los contenidos propuestos por la lógica matemática. Para comprender mejor los conceptos relacionados con dicho contenido, primero debe saber qué es una proposición, que por definición es una oración declarativa, que puede ser: un término, una palabra o incluso un símbolo; que adopta un único valor lógico entre los dos disponibles que es verdadero o falso.

Conectivo lógico: ¿qué es una proposición?

Para comprender mejor este concepto, tomemos un ejemplo:

Ejemplo 1:

Considere las siguientes afirmaciones: «El planeta Júpiter es más grande que el planeta Tierra» y «El planeta Tierra es más grande que la estrella del sol». Pensando en la definición de lo que se convierte en un valor lógico, evalúe las declaraciones y califíquelas como verdadero (V) o falso (F).

Cierto o errado

Las conectivas lógicas necesitan dos o más preposiciones para tener sentido (Foto: depositphotos)

Solución: Inicialmente debemos nombrar cada propuesta con una letra minúscula, puede elegir la que prefiera.

Primera proposición: «El planeta Júpiter es más grande que el planeta Tierra» = p
Segunda proposición : «El planeta Tierra es más grande que la estrella Sol» = q

Valor lógico de las proposiciones:

VL (p) = V
VL (q) = F

Atribuimos el valor lógico de verdadero a (p) y falso a (q), porque en relación con el sistema solar hay varios estudios científicos que prueban el valor lógico adoptado para estas proposiciones. No se realizará una demostración para resaltar tal situación, ya que está fuera del alcance del tema que abordará este texto.

Principios de proposiciones

Es importante destacar que toda la lógica se establece en algunos principios, con las proposiciones no sería diferente y para ellos pueden ocurrir tres principios. Mira la siguiente lista:

  • Principio de identidad: una proposición verdadera siempre es verdadera, mientras que una proposición falsa siempre es falsa.
  • Principio de no contradicción : ninguna proposición puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
  • Tercer principio excluido : una proposición será verdadera o falsa.

Ver también: Beneficios de estudiar matemáticas

Recuerde que todos estos principios son válidos solo para oraciones en las que es posible asignar un valor lógico (VL).

Proposiciones simples o compuestas

Para saber cómo realizar esta diferenciación, consulte la siguiente tabla:

Proposición simple Propuesta compuesta
Definición: Estas son preposiciones que no tienen otra que lo acompañe. La definición tiene dos o más proposiciones que se conectarán entre sí, estableciendo una sola oración . Cada proposición puede llamarse un componente.

Ejemplo:

Júpiter es el planeta más grande del sistema solar.

Ejemplo:

· Plutón está frío y Mercurio está caliente.

· O el planeta Tierra es el hogar de la vida humana o Marte estará poblado.

· Si la vida en la Tierra es más, a continuación, los animales se extinguirán.

· El ser humano sobrevivirá en otro planeta del sistema solar si y solo si hay agua.

Todos los conectores subrayados son conectores lógicos; pero, ¿qué es un conectivo y para qué sirve ? Puede ser una pregunta que está atrayendo tu mente en este momento, y la respuesta a eso es muy simple, ya que las palabras conectivas no son más que expresiones utilizadas para unir dos o más proposiciones . Tener un papel muy importante cuando evaluaremos el valor lógico de una preposición compuesta, ya que para realizar esta consulta es necesario:

Primero: Verifique el valor lógico de las proposiciones componentes.

Segundo: Verifique el tipo de conectivo que los conecta.

Los símbolos

Hablando de conectores lógicos, ¿qué son? ¿Qué símbolos usan? La siguiente es una discusión de los conectivos que pueden unir proposiciones compuestas:

  • Conectivo «e»: El conectivo «e» es una conjunción, su representación simbólica viene dada por el símbolo: .
  • Conectivo «o»: El conectivo «o» es una disyunción, su representación simbólica viene dada por el símbolo: .
  • Conectivo «O … o …»: El conectivo «O … o …» es una disyunción exclusiva, su representación simbólica viene dada por: .
  • Conectivo «Si … entonces …»: El conectivo «Si … entonces …» es condicional, su representación viene dada por el símbolo: →.

Ver también: El origen de dígitos y números.

Tabla de conectividad lógica

Conectivo / Partícula Significado Símbolos conectivos lógicos
Conectivo «e» Conjunción
Conectivo «o» Disyunción
Conectivo «O … o …» Disyunción exclusiva
Conectivo «Si … entonces …» Condicional
Conectivo «si y solo si» Bicondicional
Ninguna partícula Negación ~ o ¬

Descripción de significados y ejemplos.

Vea a continuación cómo usamos los conectivos y la partícula de negación en oraciones lógicas, también siga los ejemplos.

Conjunción

La conjunción está representada por el conectivo (e) y se encuentra en proposiciones compuestas. La conjunción puede asumir el valor de verdad si ambas proposiciones componentes son verdaderas. Ahora, si una de las proposiciones componentes es falsa, la conjunción será toda falsa. En los casos en que ambas proposiciones de componentes son falsas, la conjunción también es falsa. Consulte el siguiente ejemplo para una mejor comprensión:

Ejemplo 2: Identifique cuándo la conjunción de la siguiente proposición compuesta es verdadera o falsa: «El sol está caliente y Plutón está frío».

Respuesta: Inicialmente para verificar si las proporciones son verdaderas o falsas debemos nombrarlas en minúsculas.

p = El sol está caliente
q = Plutón está frío

El instrumento utilizado para verificar el valor lógico de la oración es la tabla de verdad. Con esta tabla puede verificar si una conjunción es verdadera o falsa. Con respecto a este ejemplo, observe en qué casos la conjunción será verdadera o falsa:

Situaciones Proposición p Proposición q El sol está caliente y Plutón está frío.
El sol está caliente … … Plutón tiene frío. p q
Primera situacion V V V
Segunda situacion F V F
Tercera situacion V F F
Cuarta situación F F F

Primera situación: si ambas proposiciones p y q son verdaderas, entonces la conjunción (p q) es verdadera.
Segunda situación : la proposición p es falsa, por lo tanto la conjunción (p q) es falsa.
Tercera situación : la proposición q es falsa, por lo que la conjunción (p q) es falsa.
Cuarta situación: las proposiciones p y q son falsas, por lo que la conjunción (p q) es falsa.

En resumen, la conjunción sería verdadera solo si todas las proposiciones de la oración fueran verdaderas.

Disyunción

La disyunción está representada por el conectivo (o) , pero ¿qué es la disyunción? Con respecto a la lógica, decimos que la disyunción ocurre cada vez que tenemos en la oración la presencia del conectivo o que separa las proposiciones componentes. Cada oración lógica debe pasar por un proceso de validación y puede clasificarse como verdadera o falsa. Definir la disyunción es exactamente caracterizarlo como verdadero o falso, y por definición, una disyunción siempre será verdadera si al menos una de las proposiciones componentes de la oración es verdadera. Para entender esto, siga el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3: Verifique posibles situaciones en las que la disyunción sea verdadera o falsa: «El hombre habitará Marte o el hombre habitará la Luna».

Respuesta : Inicialmente nombraremos las proposiciones.

p = El hombre morará en Marte
q = El hombre morará en la luna

Para verificar situaciones donde la disyunción es verdadera o falsa, debemos construir la tabla de verdad.

Situación Proposición p Proposición q El hombre habitará Marte o el hombre habitará la Luna.
El hombre habitará Marte … … El hombre habitará la luna. P Q
Primera situacion V V V
Segunda situacion F V V
Tercera situacion V F V
Cuarta situación F F F

Primera situación : si ambas proposiciones p y q son verdaderas, entonces la disyunción (p q) es verdadera.
Segunda situación : la proposición p es falsa, pero q es verdadera. Por esta razón, la disyunción (p q) es verdadera.
Tercera situación: la proposición p es verdadera, pero q es falsa. Así, la disyunción (p q) es verdadera.
Cuarta situación : El proposiciones p y q son falsas. Entonces la disyunción (p q) es falso, porque para ser verdadero, al menos una de las proposiciones debe ser verdadera.

Disyunción exclusiva

La disyunción exclusiva se caracteriza por el uso repetido del conectivo ( o ) a lo largo de la oración. Para evaluar si las proposiciones de los componentes son verdaderas, también utilizamos la tabla de verdad. En el caso de proposiciones compuestas donde la disyunción exclusiva está presente, tenemos que la oración será verdadera si uno de los componentes es falso, pero si todos los componentes son verdaderos o todos son falsos, entonces la disyunción exclusiva es falsa. Es decir, en disyunción exclusiva, una de las situaciones planteadas por el componente debe ocurrir y la otra no. Mira el ejemplo:

Ejemplo 4 : Comprobar la siguiente frase en la que las situaciones de la disyunción única, verdadera o falsa: «Si hay vuelos fuera del sistema solar, o voy a entrar a Venus o voy a ir a Neptuno».

Respuesta: nombraremos las proposiciones compuestas.

p = iré a venus
q = iré a neptuno

Para identificar las posibilidades en las cuales la disyunción exclusiva es verdadera o falsa, debemos armar la tabla de verdad.

Situación Proposición p Proposición q o iré a Venus o iré a Neptuno.
… Iré a Venus … … Iré a Neptuno. P Q
Primera situacion V V F
Segunda situacion F V V
Tercera situacion V F V
Cuarta situación F F F

Primera situación : la proposición p es verdadera y la proposición q es verdadera, por lo que la disyunción condicional (p q) es falsa, ya que las dos situaciones propuestas por las proposiciones componentes nunca ocurrieron juntas.
Segunda situación: la proposición p es falsa y la proposición q es verdadera, en esta situación la disyunción condicional (p q) es verdadera, ya que solo una de las proposiciones ha sido verdadera.
Tercera situación : la proposición p es verdadera yq es falsa, por lo que la disyunción condicional (p q) es verdadero, porque solo una de las proposiciones es verdadera.
Cuarta situación : la proposición p es falsa y a q también es falsa, por lo que la disyunción condicional (p q) es falsa, ya que para ser verdadera, agregue una de las proposiciones que componen la oración debe ser verdadera.

Condicional

Una oración que es una proposición compuesta y se considera condicional cuando tiene los conectivos (si … entonces …) Para determinar si el condicional es verdadero o falso, debemos evaluar las proposiciones. Dado que una proposición de componente condicional siempre será falsa si la primera declaración de la oración es verdadera y la segunda es falsa. En todos los demás casos, el condicional se considerará verdadero. Vea el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5: Mostrar en qué situaciones la siguiente oración: «Si nací en el planeta Tierra, entonces soy terrano»; tiene su condicional como verdadero o falso.

Respuesta: Nombramos las proposiciones.

p = Nací en el planeta Tierra
q = Soy terrano

Nota. En las proposiciones del tipo conectivo condicional es determinará la propuesta que será el antecedente, mientras que el conjuntivo y luego determinar la proposición de ser consecuente. En este ejemplo tenemos que p se conoce como antecedente, siendo q llamado consecuente.

Para mostrar todas las situaciones en las que la oración «Si nací en el planeta Tierra, entonces soy terrano»; tiene su condicional verdadero o falso debemos hacer la tabla de verdad.

Situación Proposición p Proposición q Si nací en el planeta Tierra, entonces soy terrano
… Nací en el planeta Tierra … … Soy terrano. p q
Primera situacion V V V
Segunda situacion F V F
Tercera situacion V F V
Cuarta situación F F V

Primera situación: si p es verdadero yq también es verdadero, entonces el condicional (p q) es verdadero.
Segunda situación : si p es falso yq es verdadero, entonces el condicional (p q) es verdadero.
Tercera situación : si p es verdadero yq es falso, entonces necesariamente el condicional (p q) es falso, porque un antecedente verdadero no puede determinar un consecuente falso.
Cuarta situación: si p es falso yq es falso, entonces condicional (p q) es cierto.

Bicondicional

Para que una oración simple se considere bicondicional, debe tener la conexión «si y solo si» que separa los dos condicionales. Para que la oración sea considerada un verdadero bicondicional, su proposición antecedente y consecuente con respecto al conectivo «si y solo si» debe ser ambos verdaderos, o ambos ser falsos. Para descubrir mejor esta situación, siga el ejemplo:

Ejemplo 6: Exponga todas las posibilidades en las cuales el bicondicional será verdadero o falso en la siguiente oración «Las estaciones existen solo si la tierra realiza el movimiento de traslación».

Respuesta: Nombramos las proposiciones que componen la oración.

p = Las estaciones del año existen
q = La Tierra hace el movimiento traslacional

Ahora expondremos las posibilidades de que bicondicional se considere verdadero o falso por medio de la tabla de verdad.

Situación Proposición p Proposición q Las estaciones existen solo si la tierra hace el movimiento de traslación
Las estaciones del año … … La tierra realiza el movimiento de traducción. porque
Primera situacion V V V
Segunda situacion F V F
Tercera situacion V F F
Cuarta situación F F V

Primera situación: si las proposiciones p y q son verdaderas, entonces la bicondicional ( p ↔ q) es verdadera.
Segunda situación : si la proposición p es falsa y q es verdadera, entonces bicondicional ( p ↔ q) es falsa.
Tercera situación : si la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, entonces bicondicional ( p ↔ q) es falsa.
Cuarta situación: si las proposiciones p y q son falsas, entonces la bicondicional ( p ↔ q) es verdadera.

Negación

Nos enfrentamos a una negación si la oración presenta la partícula no en la proposición simple. Al representar la negación podemos adoptar los símbolos tilde ( ~ ) o ángulo ). Para evaluar si una proposición simple es verdadera o falsa, debemos reescribir la proposición. Si la proposición ya tiene la partícula no ( ~ p) , entonces debemos negar la proposición negativa, para eso tenemos que excluir la partícula no solo obteniendo una proposición ( p ), sino si la partícula no está ausente de la proposición (p), debemos agregar la partícula no en la proposición ( ~ p ). Sigue el siguiente ejemplo:

Ejemplo 7: Muestre a través de la tabla de verdad las situaciones en las que (p) y ( ~ p) son verdaderas o falsas para la siguiente proposición simple: «El planeta Tierra es redondo»

p = El planeta tierra es redondo.
~ p = El planeta Tierra no es redondo

Situación El planeta tierra es redondo El planeta tierra no es redondo
p ~ p
Primera situacion V F
Segunda situacion F V

Primera situación : Sea (p) verdadero, luego (~ p) es falso.
Segunda situación : Sea (p) falso, entonces (~ p) es verdadero.

Nota: Nunca será posible que (p) y (~ p) sean simultáneamente verdaderos o falsos, porque uno es la contradicción del otro.

Referencias

»LIMA, CS Fundamentos de lógica y algoritmos. Río Grande en el Norte: IFRN Campus Apodi, 2012.

»ÁVILA, G. Introducción al análisis matemático. 2. ed. Sao Paulo: Blucher, 1999.

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